חירות, עצמאות והמתמטיקה שביניהם

אנחנו בעיצומם של ימים מיוחדים. אצלנו בבית מכנים את התקופה הזו "הימים הנוראים 2". לא בכוונת זלזול בעשרת ימי התשובה חס וחלילה אלא משום שהתקופה הזו, שבין פסח ליום העצמאות, מלאה בימים מלאי משמעות והזדמנויות לחיפוש אחר משמעות. היא מזמנת הזדמנות לחקירה ולהעמקה במושגים או רעיונות שאנו נוטים לעתים לקבל כמובנים מאליהם ומדגישה את המחיר של היעדרם.

חג הפסח – הוא חג החירות – תמיד מהווה קרקע פוריה לדיונים אודות החירות ומשמעותה בממדים הלאומי, הדתי והאישי. יום העצמאות מהווה הזדמנות לחשוב על מושג העצמאות, ועל האחריות הנלוות לו, גם הפעם במעגלים רחוקים וקרובים. ובין פסח ועצמאות ניצב יום הזיכרון לשואה ולגבורה, המזכיר לנו מהו המחיר של היעדר החירות והיעדר העצמאות. גם כאן, ההזדמנות לחשוב על הממד האישי לצד הממד הלאומי היא חשובה ויקרה מאוד.

הקשר בין חירות ועצמאות נראה על פניו מובן מאליו. ויחד עם זאת, כאשר מתבוננים מקרוב ניתן לראות כי הקשר הזה אינו כה פשוט כפי שנדמה בתחילה והתלות ההדדית בין שני מושגים אלו היא מורכבת וסבוכה למדי: עצמאות, כך נדמה, אינה מתאפשרת ללא חירות. אך עם העצמאות מגיעה אחריות  – אחריות לשמור על החירות ולאפשר אותה. מן הכיוון ההפוך ניתן לראות כי החירות כלל אינה אפשרית ללא עצמאות משום שכל עוד אדם אינו עצמאי הוא אינו חופשי לפעול על פי רצונו או מצפונו. החירות והעצמאות, אם כן, כרוכות זו בזו במעגלי שייכות רבים, מגוונים וסבוכים.

עצמאות, חירות והמתמטיקה שביניהם

השנה עוררו אותי ימים אלה לחשוב על הקשר בין חירות ועצמאות בהקשר של הוראת המתמטיקה ועל תפקידו של המורה בהענקת חירות ועצמאות לתלמידיו (אולי בשנה הבאה נדבר על חירותו עצמאותו של המורה דווקא).

אני מניח שכל מורה יסכים שאחת ממטרותיו היא לעודד עצמאות בקרב תלמידיו. אנחנו שואפים שתלמידנו יגדלו להיות מבוגרים אחראיים ועצמאים היכולים להשתלב בחברה ולהוביל אותה למקום טוב יותר. כיצד ניתן לעודד עצמאות במסגרת לימודי המתמטיקה? כבר הראיתי בעבר, שהיכולת של תלמידים להתמודד עם בעיות חדשות בצורה מיטבית תלויה במידה בה הם שולטים במיומנויות בסיסיות יותר. כך למשל, תלמיד השולט היטב בפתרון משוואות יהיה לו קל יותר להתמודד עם בעיות מילוליות. תלמיד השולט היטב בתכונותיהם של מצולעים יקל עליו לפתור בעיות בגאומטריה וכדומה. לכן, על מנת שתלמידנו יהיו עצמאיים עלינו להבטיח שהם שולטים היטב במיומנויות הבסיסיות של המקצוע.

אלא שכאן אנו נתקלים בבעיה: שליטה טובה מתקבלת בעיקר בעזרת תרגול רב. ותרגול, כפי שאנו יודעים זאת היטב, יכול להיות מאוד לא מעניין, במיוחד עבור תלמידים מתקשים. בין הסיבות הרבות לכך שהתרגול אינו מעניין אותם ניתן למצוא את הסיבה שלכאורה ברורה מאליה: התרגול לא מעניין פשוט משום שהוא קשה להם. והקושי הזה נובע פעמים רבות משום שהם אינם מבינים את החומר: הם אינם מבינים מדוע יש לפתור את המשוואה בצורה זו ולא אחרת; הם אינם מבינים מדוע אלו התכונות של מרובע או שאינם מבינים מה הקשר בין משואת קו ישר לתצוגה הגרפית שלה.

וכאן, כמובן,  באה השאלה: "אז איך גורמים להם להבין?"

חירות, עצמאות והאחריות שביניהם

אז ככה. ראשית, השאלה אינה טובה בעיני. המורה אינו יכול לגרום לתלמיד להבין. מי שמבין, בסופו של עניין, זה התלמיד. בעצמו. התפקיד שלנו, המורים, הוא לאפשר לכל תלמיד או תלמידה את המרחב בו יוכלו להבין. מרחב, או במילים אחרות, חירות: חירות לפתור בדרכים מגוונות; חירות למצוא את הדרך שנראית להם נכונה; חירות לטעות; והחירות להבין את הקושי בדרכם שלהם. אם ברצוננו לאפשר לתלמידים עצמאות עלינו בראש ובראשונה להעניק להם תחושה נוחה, תחושה של ביטחון, תחושה שאנחנו מאמינים בהם וביכולות שלהם כפי שהם. גם אם הם עדיין אינם יודעים. גם אם הם עדיין אינם מבינים. גם אם הם משועממים.

החירות הזו, מרחב הפעולה הזה, כך אני מאמין, יובילו את התלמידים להתנסות. וההתנסות תוביל אותם גם ללקיחת אחריות על הפעולות שהם מבצעים: כאשר לכל פעולה יש תוצאה או השלכות עימם צריך להתמודד יש לחשוב היטב לאן רוצים להגיע ומהי המטרה. זהו גם הקשר בין מתמטיקה לחיים "האמיתיים": החירות לבחור נושאת בחובה אחריות על הבחירה והתמודדות עם תוצאותיה. והאחריות על הבחירה היא המאפשרת, בסופו של דבר, את העצמאות.

כדי לעודד אצל התלמידים תחושת העצמאות, עלינו להעניק להם במקביל גם חירות.

"הדרך שבחרתי, ושבחרתי לי למטרתי, איננה הקצרה ביותר וגם לא הנוחה ביותר, ברם, היא הטובה ביותר בשבילי, משום שהיא שלי, משום שהיא משל עצמי." יאנוש קורצ'ק, כתבים א' (1996), עמ' 114.

הענקת החירות לתלמידים אינה עניין של מה בכך. רבים מהם רגילים לכך שאין להם חופש פעולה ושעליהם לבצע פעולות בסדר מסוים שנאמר להם מראש. החירות, אם מגיעה ללא הכנה, עלולה להיות גם הרסנית. ראו מה קרה לבני ישראל לאחר שיצאו ממצריים – גם הם העדיפו את עגל הזהב המוחשי, הברור והמוחלט, על פני האי-וודאות של אל בלתי נראה. באופן דומה גם התלמידים שלנו יעדיפו פעמים רבות את הדרך הברורה לפתרון או כללי אצבע מסוגים שונים ("אז אם זה ככה אז אני כופל בלמעלה, נכון?") על פני מחשבה עצמאית, זו שכרוכה בה גם אחריות. כללי האצבע הם במידה רבה "סיר הבשר" שהיטיב עם בני ישראל במצריים אך הסתיר את חירותם שנלקחה מהם. החירות, אם כן, יכולה גם להרתיע, ולעורר חששות. תפקידנו כמורים הוא להעניק אותה בתבונה ובתשומת לב.

זו משימה קשה, כמובן. אך זו משימתנו – להעניק לכל תלמיד (או תלמידה) את הזכות להיות עצמאי באמצעות שמירה על חירותו וטיפוח היכולת שלו להתמודד עם אחריות.

במתמטיקה כמו בחיים.

 

מתמטיקה מהחיים #2 – מה מזהם יותר: השלם או סכום חלקיו?

מתי 12≠6+6?

מוצ"ש. חוזרים מההורים. שבת רגועה של בית ועיתונים. הבן שלי, שכבר קורא בחופשיות, הצטרף לחגיגת העיתונים בסלון. זה יכול להדאיג, אבל למזלי הוא מתעניין בעיקר בפרסומות. בדרך חזרה הביתה, בנסיעה בכביש המהיר והחשוך, החלה השיחה:

"אבא?"

car pollution

אז מה מזהם יותר? מכונית אחת של 12 או שתי מכוניות של 6?

"מה?"

"כמה האוטו שלנו מזהם?"

"למה אתה מתכוון?"

"מ-1 עד 15, כמה האוטו שלנו מזהם?"

הבנתי שהוא מתכוון לסולם זיהום האוויר שמופיע במודעות הפרסומות למכוניות.

"12" השבתי.

"זה הרבה!" הוא ענה, קצת בביקורת, כאילו ציפה שהמשפחה שלו תתחשב יותר באיכות הסביבה.

"כמה זה נקרא מעט?"

"6".

תשובה מעניינת! (מדוע דווקא 6? אולי זכר את הצבעים בטבלה?) אז לא יכולת להתאפק והחזרתי לו בשאלה הבאה:

"אז תגיד, מה עדיף: מכונית אחת שמזהמת 12 או שתי מכוניות שמזהמות 6?"

להמשיך לקרוא

"מילים מילים ואת משמעותן (המתמטית)"

השבוע נתקלתי במאמרו של שלומי חתוכה על הסיבות לכך שתלמידים רבים מעדיפים ללמוד מתמטיקה ברמות נמוכות ביחס לרמות המתאימות להם (ותודה להפניה בעמוד הפייסבוק של עידן טל). על פי שלומי הסיבה היא המאפיינים של הוראת המתמטיקה: תלמידים רבים בוחרים ללמוד ברמה מתמטית הנמוכה ביחס ליכולות שלהם ובחירה זו היא כהצבעת אי אמון במערכת החינוך.

וכך כותב שלומי: "אם המורה בבית הספר אינו מספיק טוב, אין לתלמיד סיכוי רב להצליח. וטוב פירושו שהמורה אינו רק צריך לדעת את החומר על בוריו, אלא צריך גם לדעת לפשט ולהעביר אותו בצורה ההגיונית וגם היצירתית ביותר….העבודה העיקרית היא לאו דווקא להתחיל בלימוד מתמטיקה, אלא להחדיר בתלמיד אמונה וביטחון, בעיקר לפזר את החשש והפחד, ולהבין כי הדרך לשכל עוברת אצל ילדים דרך הלב בטח במקצוע ידוע לשמצה עד כדי כך שהפך להיות אימת המקצועות".

המילים האמיצות הללו, שאני מסכים עימם בכל ליבי, התאימו למחשבות שיש לי בעקבות ספר שאני קורא לאחרונה. הספר, Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers שנכתב על ידי Joseph Mazur, מתאר את ההתפתחות של הסמלים במתמטיקה, ואת הכתיבה הסימבולית, מאז ראשית ימיה. בניגוד לספרי היסטוריה אחרים של התפתחות המתמטיקה (כמו זה של בנו ארבל ז"ל),  ספר זה מתמקד אך ורק בסימולים המתמטיים – כיצד התפתחו, מדוע התפתחו וכיצד השפיעו על המתמטיקה כתחום ידע.

הספר מומלץ מאוד למי שמתעניין בנושאים אלה. הוא קריא ומעניין. הוא מתאר באופן מרתק כיצד כניסתם של הסימולים המתמטים אותם אנו מכירים היטב שינו את האופן בו עשו וחשבו מתמטיקה עד להופעתם.

המתמטיקה  היא בכלל מדע מילולי

להמשיך לקרוא