איזה כיף! כולם לא שייכים!

אנחנו רגילים שבמתמטיקה יש רק תשובה אחת נכונה. בפוסט הנוכחי נראה כמה זה מעניין כאשר כל התשובות נכונות.

אני רוצה להציג אתר נהדר לעבודה בכיתה (או בבית). לאתר קוראים "מי לא שייך?" והוא עובד לפי עיקרון פשוט: באתר מוצגות תמונות. כל תמונה היא מטריצה של ארבע תמונות קטנות (ארבעה גרפים, ארבעה תרגילים, ארבע צורות). המטרה של התלמיד היא לזהות את התמונה יוצאת הדופן. נשמע משעמם נכון? גם מאוד תחרותי. למה בכלל להתאמץ? ובכן הטוויסט נמצא בעובדה שכל תמונה מבין הארבע היא יוצאת דופן!

הנה דוגמה למטריצה שהצגתי בכיתה לאחר שלמדנו חקירת פונקציה:

כל התשובות נכונות

איזה גרף יוצא דופן?

השאלה שהצגתי היתה: איזה גרף יוצא דופן? התנאי היחידי שהצבתי לכיתה היה שכל תשובה שתלמיד נותן צריכה להיות מנומקת, וכל נימוק צריך לעשות שימוש במושגים המתמטיים שלמדנו.

היה תענוג לראות את שיתוף הפעולה: תלמידים שונים ראו גרפים שונים כיוצאי דופן, או הציגו נימוקים שונים לאותו הגרף.

את הבחירות והנימוקים כתבתי על הלוח: מספרתי את הגרפים ולצד כל מספר של גרף ציינתי את שם התלמיד שהציע את התשובה ואת התשובה שהציע. עבור כל גרף השתדלנו למצוא כמה שיותר אפשרויות. הנה דוגמאות:

  1. הגרף השמאלי העליון יוצא דופן משום שיש לו רק שתי נקודות חיתוך עם ציר ה-X.
  2. הגרף ימני העליון הוא הגרף היחידי שיש לו נקודת מינימום ואז נקודת מקסימום.
  3. הגרף השמאלי התחתון הוא היחידי שעובר בראשית הצירים.
  4. הגרף הימני התחתון הוא היחידי החותך את ציר ה-Y באזור השלילי.

כשהתלמידים הבינו שיש אפשרויות רבות ומגוונות, וכל תשובה מנומקת היא תשובה נכונה, הם ממש התלהבו וביקשו למצוא עוד ועוד נימוקים והבדלים. זה באמת מדהים לראות שכאשר התלמידים מרגישים שיש להם אפשרות לענות תשובה נכונה וכאשר יש משמעות לדברים שהם אומרים – הם ממש רוצים להשתתף.

בעיני, במשימה הזו באות לידי ביטוי כמה מהתכונות החשובות ביותר של שיעור מתמטיקה:

  1. היא מאפשרת לכל התלמידים להשתתף – לכל נקודת מבט יש מקום ואין משמעות למהירות חשיבה.
  2. היא מעוררת סקרנות ומתוך כך – מעורבות.
  3. היא מעודדת שיח מתמטי ודורשת מהתלמידים להשתמש נכון במושגים שלמדו וליישם אותם.
  4. בכך היא מהווה חזרה מצוינת על החומר והזדמנות לעבד אותו שלא באמצעות פתרון תרגילים.
  5. ככל שיש יותר נקודות על הלוח המטלה דורשת מהתלמידים להתאמץ יותר להיות יצירתיים יותר במציאת הבדלים בין הגרפים.

התמונות באתר מתאימות לטווח רחב של גילאים ותחומי לימוד. זוהי פעילות כל כך פשוטה, ויחד עם זאת כל כך חכמה ויצירתית, שהיא מתאימה לכל גיל (כמובן תוך התאמת הציפיות והדרישות לגיל התלמידים). מאוד מומלץ כפתיח לשיעור ("חימום מתמטי") או כשצריך לאוורר את האווירה בכיתה.

האתר מזמין את כל המשתמשים בו להוסיף תמונות ורעיונות חדשים. זה אתגר לא פשוט!

שתפו אם ניסיתם וספרו איך הלך!

פונקציות, נקודות, גרפים – על חשיבות הקשר בין ייצוגים שונים

אחד הקשיים בהם נתקלים תלמידים הוא לזהות את הקשרים בין הנושאים והתחומים השונים של המתמטיקה שנלמדים בבית הספר. הקושי הזה נובע, בין השאר, משום שמלמדים את כל התלמידים באופן דומה, מבלי להתייחס למאפיינים האישיים של כל תלמיד. כתבתי על כך בסקירה של ממצאי המחקר של פיז"ה באחד הפוסטים הקודמים.

מבין כל הקשרים הקיימים, אחד הקשרים הבולטים – מצד אחד – והמוזנחים – מצד שני – הוא הקשר בין פונקציות וייצוגיהן הגרפים.

לימוד מתמטיקה בהקשרים שונים, ובאמצעים מגוונים, הוא חשוב. הוא חשוב כי הוא מאפשר לתלמידים להבין את החומר באופן שבו הם מבינים אותו טוב ביותר. הוא חשוב כי הוא מייצר אצל התלמידים ביטחון עצמי. הוא חשוב כי הוא מבנה את הבסיס ללמידה עמוקה ומשמעותית בהמשך. אלו הם העקרונות של תפיסת ה- Growth Mindset (למישהו יש תרגום מוצלח לעברית?) שצוברת תאוצה בארה"ב (לא רק במתמטיקה אלא כתפיסה של מקצוע ההוראה).

לכן, חשוב ללמד גרפים ואת הקשר שלהם לפונקציות, נקודות על מערכת צירים ואת הקשר שלהם לגרפים, וכדומה.

דן מאייר מתייחס לנקודה זו באחד הפוסטים האחרונים שלו. הוא מציג מטלה מעניינת המדגישה את הקשר בין קו ישר, נקודות וייצוג אלגברי.

הפוסט הזה הזכיר לי שאני עושה משהו דומה (אך שונה) עם הכיתה שלי אז החלטתי לשתף אתכם בו (תודה דן!).

הרעיון של המשימה הבאה הוא להציג את הקשר בין פונקציה, אוסף נקודות, והתיאור הגרפי של הפונקציה. אפשר לשלב אותו בכל שלב של למידה אם כי לדעתי לא כדאי להביא אותו בשלב מוקדם מדי אלא רק לאחר שהתלמידים התנסו כבר בייצוגים השונים. הוא מתאים גם לתלמידים שמכירים רק משוואות מהמעלה הראשונה אך בהחלט גם לתלמידים המכירים משוואות ממעלות גבוהות יותר.

להמשיך לקרוא