חירות, עצמאות והמתמטיקה שביניהם

אנחנו בעיצומם של ימים מיוחדים. אצלנו בבית מכנים את התקופה הזו "הימים הנוראים 2". לא בכוונת זלזול בעשרת ימי התשובה חס וחלילה אלא משום שהתקופה הזו, שבין פסח ליום העצמאות, מלאה בימים מלאי משמעות והזדמנויות לחיפוש אחר משמעות. היא מזמנת הזדמנות לחקירה ולהעמקה במושגים או רעיונות שאנו נוטים לעתים לקבל כמובנים מאליהם ומדגישה את המחיר של היעדרם.

חג הפסח – הוא חג החירות – תמיד מהווה קרקע פוריה לדיונים אודות החירות ומשמעותה בממדים הלאומי, הדתי והאישי. יום העצמאות מהווה הזדמנות לחשוב על מושג העצמאות, ועל האחריות הנלוות לו, גם הפעם במעגלים רחוקים וקרובים. ובין פסח ועצמאות ניצב יום הזיכרון לשואה ולגבורה, המזכיר לנו מהו המחיר של היעדר החירות והיעדר העצמאות. גם כאן, ההזדמנות לחשוב על הממד האישי לצד הממד הלאומי היא חשובה ויקרה מאוד.

הקשר בין חירות ועצמאות נראה על פניו מובן מאליו. ויחד עם זאת, כאשר מתבוננים מקרוב ניתן לראות כי הקשר הזה אינו כה פשוט כפי שנדמה בתחילה והתלות ההדדית בין שני מושגים אלו היא מורכבת וסבוכה למדי: עצמאות, כך נדמה, אינה מתאפשרת ללא חירות. אך עם העצמאות מגיעה אחריות  – אחריות לשמור על החירות ולאפשר אותה. מן הכיוון ההפוך ניתן לראות כי החירות כלל אינה אפשרית ללא עצמאות משום שכל עוד אדם אינו עצמאי הוא אינו חופשי לפעול על פי רצונו או מצפונו. החירות והעצמאות, אם כן, כרוכות זו בזו במעגלי שייכות רבים, מגוונים וסבוכים.

עצמאות, חירות והמתמטיקה שביניהם

השנה עוררו אותי ימים אלה לחשוב על הקשר בין חירות ועצמאות בהקשר של הוראת המתמטיקה ועל תפקידו של המורה בהענקת חירות ועצמאות לתלמידיו (אולי בשנה הבאה נדבר על חירותו עצמאותו של המורה דווקא).

אני מניח שכל מורה יסכים שאחת ממטרותיו היא לעודד עצמאות בקרב תלמידיו. אנחנו שואפים שתלמידנו יגדלו להיות מבוגרים אחראיים ועצמאים היכולים להשתלב בחברה ולהוביל אותה למקום טוב יותר. כיצד ניתן לעודד עצמאות במסגרת לימודי המתמטיקה? כבר הראיתי בעבר, שהיכולת של תלמידים להתמודד עם בעיות חדשות בצורה מיטבית תלויה במידה בה הם שולטים במיומנויות בסיסיות יותר. כך למשל, תלמיד השולט היטב בפתרון משוואות יהיה לו קל יותר להתמודד עם בעיות מילוליות. תלמיד השולט היטב בתכונותיהם של מצולעים יקל עליו לפתור בעיות בגאומטריה וכדומה. לכן, על מנת שתלמידנו יהיו עצמאיים עלינו להבטיח שהם שולטים היטב במיומנויות הבסיסיות של המקצוע.

אלא שכאן אנו נתקלים בבעיה: שליטה טובה מתקבלת בעיקר בעזרת תרגול רב. ותרגול, כפי שאנו יודעים זאת היטב, יכול להיות מאוד לא מעניין, במיוחד עבור תלמידים מתקשים. בין הסיבות הרבות לכך שהתרגול אינו מעניין אותם ניתן למצוא את הסיבה שלכאורה ברורה מאליה: התרגול לא מעניין פשוט משום שהוא קשה להם. והקושי הזה נובע פעמים רבות משום שהם אינם מבינים את החומר: הם אינם מבינים מדוע יש לפתור את המשוואה בצורה זו ולא אחרת; הם אינם מבינים מדוע אלו התכונות של מרובע או שאינם מבינים מה הקשר בין משואת קו ישר לתצוגה הגרפית שלה.

וכאן, כמובן,  באה השאלה: "אז איך גורמים להם להבין?"

חירות, עצמאות והאחריות שביניהם

אז ככה. ראשית, השאלה אינה טובה בעיני. המורה אינו יכול לגרום לתלמיד להבין. מי שמבין, בסופו של עניין, זה התלמיד. בעצמו. התפקיד שלנו, המורים, הוא לאפשר לכל תלמיד או תלמידה את המרחב בו יוכלו להבין. מרחב, או במילים אחרות, חירות: חירות לפתור בדרכים מגוונות; חירות למצוא את הדרך שנראית להם נכונה; חירות לטעות; והחירות להבין את הקושי בדרכם שלהם. אם ברצוננו לאפשר לתלמידים עצמאות עלינו בראש ובראשונה להעניק להם תחושה נוחה, תחושה של ביטחון, תחושה שאנחנו מאמינים בהם וביכולות שלהם כפי שהם. גם אם הם עדיין אינם יודעים. גם אם הם עדיין אינם מבינים. גם אם הם משועממים.

החירות הזו, מרחב הפעולה הזה, כך אני מאמין, יובילו את התלמידים להתנסות. וההתנסות תוביל אותם גם ללקיחת אחריות על הפעולות שהם מבצעים: כאשר לכל פעולה יש תוצאה או השלכות עימם צריך להתמודד יש לחשוב היטב לאן רוצים להגיע ומהי המטרה. זהו גם הקשר בין מתמטיקה לחיים "האמיתיים": החירות לבחור נושאת בחובה אחריות על הבחירה והתמודדות עם תוצאותיה. והאחריות על הבחירה היא המאפשרת, בסופו של דבר, את העצמאות.

כדי לעודד אצל התלמידים תחושת העצמאות, עלינו להעניק להם במקביל גם חירות.

"הדרך שבחרתי, ושבחרתי לי למטרתי, איננה הקצרה ביותר וגם לא הנוחה ביותר, ברם, היא הטובה ביותר בשבילי, משום שהיא שלי, משום שהיא משל עצמי." יאנוש קורצ'ק, כתבים א' (1996), עמ' 114.

הענקת החירות לתלמידים אינה עניין של מה בכך. רבים מהם רגילים לכך שאין להם חופש פעולה ושעליהם לבצע פעולות בסדר מסוים שנאמר להם מראש. החירות, אם מגיעה ללא הכנה, עלולה להיות גם הרסנית. ראו מה קרה לבני ישראל לאחר שיצאו ממצריים – גם הם העדיפו את עגל הזהב המוחשי, הברור והמוחלט, על פני האי-וודאות של אל בלתי נראה. באופן דומה גם התלמידים שלנו יעדיפו פעמים רבות את הדרך הברורה לפתרון או כללי אצבע מסוגים שונים ("אז אם זה ככה אז אני כופל בלמעלה, נכון?") על פני מחשבה עצמאית, זו שכרוכה בה גם אחריות. כללי האצבע הם במידה רבה "סיר הבשר" שהיטיב עם בני ישראל במצריים אך הסתיר את חירותם שנלקחה מהם. החירות, אם כן, יכולה גם להרתיע, ולעורר חששות. תפקידנו כמורים הוא להעניק אותה בתבונה ובתשומת לב.

זו משימה קשה, כמובן. אך זו משימתנו – להעניק לכל תלמיד (או תלמידה) את הזכות להיות עצמאי באמצעות שמירה על חירותו וטיפוח היכולת שלו להתמודד עם אחריות.

במתמטיקה כמו בחיים.

 

איזה כיף! כולם לא שייכים!

אנחנו רגילים שבמתמטיקה יש רק תשובה אחת נכונה. בפוסט הנוכחי נראה כמה זה מעניין כאשר כל התשובות נכונות.

אני רוצה להציג אתר נהדר לעבודה בכיתה (או בבית). לאתר קוראים "מי לא שייך?" והוא עובד לפי עיקרון פשוט: באתר מוצגות תמונות. כל תמונה היא מטריצה של ארבע תמונות קטנות (ארבעה גרפים, ארבעה תרגילים, ארבע צורות). המטרה של התלמיד היא לזהות את התמונה יוצאת הדופן. נשמע משעמם נכון? גם מאוד תחרותי. למה בכלל להתאמץ? ובכן הטוויסט נמצא בעובדה שכל תמונה מבין הארבע היא יוצאת דופן!

הנה דוגמה למטריצה שהצגתי בכיתה לאחר שלמדנו חקירת פונקציה:

כל התשובות נכונות

איזה גרף יוצא דופן?

השאלה שהצגתי היתה: איזה גרף יוצא דופן? התנאי היחידי שהצבתי לכיתה היה שכל תשובה שתלמיד נותן צריכה להיות מנומקת, וכל נימוק צריך לעשות שימוש במושגים המתמטיים שלמדנו.

היה תענוג לראות את שיתוף הפעולה: תלמידים שונים ראו גרפים שונים כיוצאי דופן, או הציגו נימוקים שונים לאותו הגרף.

את הבחירות והנימוקים כתבתי על הלוח: מספרתי את הגרפים ולצד כל מספר של גרף ציינתי את שם התלמיד שהציע את התשובה ואת התשובה שהציע. עבור כל גרף השתדלנו למצוא כמה שיותר אפשרויות. הנה דוגמאות:

  1. הגרף השמאלי העליון יוצא דופן משום שיש לו רק שתי נקודות חיתוך עם ציר ה-X.
  2. הגרף ימני העליון הוא הגרף היחידי שיש לו נקודת מינימום ואז נקודת מקסימום.
  3. הגרף השמאלי התחתון הוא היחידי שעובר בראשית הצירים.
  4. הגרף הימני התחתון הוא היחידי החותך את ציר ה-Y באזור השלילי.

כשהתלמידים הבינו שיש אפשרויות רבות ומגוונות, וכל תשובה מנומקת היא תשובה נכונה, הם ממש התלהבו וביקשו למצוא עוד ועוד נימוקים והבדלים. זה באמת מדהים לראות שכאשר התלמידים מרגישים שיש להם אפשרות לענות תשובה נכונה וכאשר יש משמעות לדברים שהם אומרים – הם ממש רוצים להשתתף.

בעיני, במשימה הזו באות לידי ביטוי כמה מהתכונות החשובות ביותר של שיעור מתמטיקה:

  1. היא מאפשרת לכל התלמידים להשתתף – לכל נקודת מבט יש מקום ואין משמעות למהירות חשיבה.
  2. היא מעוררת סקרנות ומתוך כך – מעורבות.
  3. היא מעודדת שיח מתמטי ודורשת מהתלמידים להשתמש נכון במושגים שלמדו וליישם אותם.
  4. בכך היא מהווה חזרה מצוינת על החומר והזדמנות לעבד אותו שלא באמצעות פתרון תרגילים.
  5. ככל שיש יותר נקודות על הלוח המטלה דורשת מהתלמידים להתאמץ יותר להיות יצירתיים יותר במציאת הבדלים בין הגרפים.

התמונות באתר מתאימות לטווח רחב של גילאים ותחומי לימוד. זוהי פעילות כל כך פשוטה, ויחד עם זאת כל כך חכמה ויצירתית, שהיא מתאימה לכל גיל (כמובן תוך התאמת הציפיות והדרישות לגיל התלמידים). מאוד מומלץ כפתיח לשיעור ("חימום מתמטי") או כשצריך לאוורר את האווירה בכיתה.

האתר מזמין את כל המשתמשים בו להוסיף תמונות ורעיונות חדשים. זה אתגר לא פשוט!

שתפו אם ניסיתם וספרו איך הלך!

"מילים מילים ואת משמעותן (המתמטית)"

השבוע נתקלתי במאמרו של שלומי חתוכה על הסיבות לכך שתלמידים רבים מעדיפים ללמוד מתמטיקה ברמות נמוכות ביחס לרמות המתאימות להם (ותודה להפניה בעמוד הפייסבוק של עידן טל). על פי שלומי הסיבה היא המאפיינים של הוראת המתמטיקה: תלמידים רבים בוחרים ללמוד ברמה מתמטית הנמוכה ביחס ליכולות שלהם ובחירה זו היא כהצבעת אי אמון במערכת החינוך.

וכך כותב שלומי: "אם המורה בבית הספר אינו מספיק טוב, אין לתלמיד סיכוי רב להצליח. וטוב פירושו שהמורה אינו רק צריך לדעת את החומר על בוריו, אלא צריך גם לדעת לפשט ולהעביר אותו בצורה ההגיונית וגם היצירתית ביותר….העבודה העיקרית היא לאו דווקא להתחיל בלימוד מתמטיקה, אלא להחדיר בתלמיד אמונה וביטחון, בעיקר לפזר את החשש והפחד, ולהבין כי הדרך לשכל עוברת אצל ילדים דרך הלב בטח במקצוע ידוע לשמצה עד כדי כך שהפך להיות אימת המקצועות".

המילים האמיצות הללו, שאני מסכים עימם בכל ליבי, התאימו למחשבות שיש לי בעקבות ספר שאני קורא לאחרונה. הספר, Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers שנכתב על ידי Joseph Mazur, מתאר את ההתפתחות של הסמלים במתמטיקה, ואת הכתיבה הסימבולית, מאז ראשית ימיה. בניגוד לספרי היסטוריה אחרים של התפתחות המתמטיקה (כמו זה של בנו ארבל ז"ל),  ספר זה מתמקד אך ורק בסימולים המתמטיים – כיצד התפתחו, מדוע התפתחו וכיצד השפיעו על המתמטיקה כתחום ידע.

הספר מומלץ מאוד למי שמתעניין בנושאים אלה. הוא קריא ומעניין. הוא מתאר באופן מרתק כיצד כניסתם של הסימולים המתמטים אותם אנו מכירים היטב שינו את האופן בו עשו וחשבו מתמטיקה עד להופעתם.

המתמטיקה  היא בכלל מדע מילולי

להמשיך לקרוא

גרפים, אומנות ופרצוף מחייך – כל מה שכיף בללמוד מתמטיקה

הפוסט הנוכחי מוקדש ל-Desmos, האפליקציה לשרטוט גרפים,  שלפני כשבועיים יצאה לה גרסה חדשה. מי שלא מכיר עדיין את נפלאות דסמוס שיסגור את הפוסט הנוכחי ויעבור מהר לחקור ולשחק קצת באתר שלהם.

חזרתם? נכון שהיה כיף? אז הנה עוד קצת כיף:

בפוסט הקודם שיתפתי אתכם בשיעור שנועד לחדד את הקשר בין ייצוגים שונים של אותה הפונקציה. הרעיון, בעיני, הוא תמיד לעודד את התלמידים להסתכל באופנים שונים על אותה התופעה. הפוסט הנוכחי יוקדש למטלה שאני מעביר בדרך כלל כאשר אנחנו מסיימים ללמוד על משוואת קו ישר ומשוואה ריבועית. כבר פתרנו תרגילים, מצאנו נקודות, חישבנו משוואות ישרים וכמובן – דיברנו על ההשפעה של הפרמטרים השונים על ההתנהגות של הפונקציה והאופן בו נראה הגרף שלה.

המטלה הנוכחית, בעיני, היא התגלמות האופן בו יש ללמד מתמטיקה והיא משלבת הבנה מתמטית עמוקה יחד עם יצירתיות וכיף – בדיוק מה שצריך כדי ללמד תלמידים לחשוב באופן יצירתי ומורכב. אין לי שום נקיפות מצפון כאשר אני מהלל אותה כך משום שזו אינה מטלה מקורית שלי. למדתי עליה לפני מספר שנים מהבלוג של פון (Fawn) ומאז היא חלק בלתי נפרד מתכנית ההוראה שלי.

להמשיך לקרוא

פונקציות, נקודות, גרפים – על חשיבות הקשר בין ייצוגים שונים

אחד הקשיים בהם נתקלים תלמידים הוא לזהות את הקשרים בין הנושאים והתחומים השונים של המתמטיקה שנלמדים בבית הספר. הקושי הזה נובע, בין השאר, משום שמלמדים את כל התלמידים באופן דומה, מבלי להתייחס למאפיינים האישיים של כל תלמיד. כתבתי על כך בסקירה של ממצאי המחקר של פיז"ה באחד הפוסטים הקודמים.

מבין כל הקשרים הקיימים, אחד הקשרים הבולטים – מצד אחד – והמוזנחים – מצד שני – הוא הקשר בין פונקציות וייצוגיהן הגרפים.

לימוד מתמטיקה בהקשרים שונים, ובאמצעים מגוונים, הוא חשוב. הוא חשוב כי הוא מאפשר לתלמידים להבין את החומר באופן שבו הם מבינים אותו טוב ביותר. הוא חשוב כי הוא מייצר אצל התלמידים ביטחון עצמי. הוא חשוב כי הוא מבנה את הבסיס ללמידה עמוקה ומשמעותית בהמשך. אלו הם העקרונות של תפיסת ה- Growth Mindset (למישהו יש תרגום מוצלח לעברית?) שצוברת תאוצה בארה"ב (לא רק במתמטיקה אלא כתפיסה של מקצוע ההוראה).

לכן, חשוב ללמד גרפים ואת הקשר שלהם לפונקציות, נקודות על מערכת צירים ואת הקשר שלהם לגרפים, וכדומה.

דן מאייר מתייחס לנקודה זו באחד הפוסטים האחרונים שלו. הוא מציג מטלה מעניינת המדגישה את הקשר בין קו ישר, נקודות וייצוג אלגברי.

הפוסט הזה הזכיר לי שאני עושה משהו דומה (אך שונה) עם הכיתה שלי אז החלטתי לשתף אתכם בו (תודה דן!).

הרעיון של המשימה הבאה הוא להציג את הקשר בין פונקציה, אוסף נקודות, והתיאור הגרפי של הפונקציה. אפשר לשלב אותו בכל שלב של למידה אם כי לדעתי לא כדאי להביא אותו בשלב מוקדם מדי אלא רק לאחר שהתלמידים התנסו כבר בייצוגים השונים. הוא מתאים גם לתלמידים שמכירים רק משוואות מהמעלה הראשונה אך בהחלט גם לתלמידים המכירים משוואות ממעלות גבוהות יותר.

להמשיך לקרוא

מחקר – איך להיות מורה טוב יותר למתמטיקה, חלק ב'

בפוסט קודם כתבתי על ממצאי המחקר שערכה פיז"ה שפורסמו בחודש האחרון. התמקדתי במיוחד במאפיינים של למידה משמעותית ואיכותית ובאסטרטגיות המסייעות למורה למתמטיקה לממש אותה. בפוסט הנוכחי אני רוצה לדבר על ממצאים אחרים שעלו במחקר הנוגעים יותר לתחושת הביטחון של התלמידים, לאווירה בכיתה ולאקלים הלימודי. חשוב מאוד לדבר על תחומים אלה משום שהם מהווים את הקרקע עליה יכולה הוראה איכותית לצמוח ולהצמיח הצלחה.
 
חלק ב' – התרומה של יחסי מורה-תלמיד, אקלים כיתתי ורמות חרדה להצלחה במתמטיקה
 
הממצא הראשון, שאני בטוח שלא יפתיע אף מורה, קושר בין רמת השחיקה של המורים ומספר אירועי המשמעת בשיעור: מורים המלמדים בכיתות עם רמת הפרעות רבה יותר מדווחים על שחיקה רבה יותר.  ממצא זו אינו מפתיע ולמרות זאת חשוב לדבר עליו בעיקר משום שהוא מדגיש את תרומתו של האקלים הכיתתי לחוויית ההוראה, לחוויית הלמידה ומתוך כך לשיעורי ההצלחה.

להמשיך לקרוא

מחקר – איך להיות מורה טוב יותר למתמטיקה, חלק א'

 

בתחילת החודש פרסמה פיז"ה, הרשות הבינלאומית להערכת תלמידים, את ממצאי המחקר שערכה בשנת 2012. אני מכיר את הביקורת על המבחנים של פיז"ה, ועל כך שהתלמידים הישראלים אינם מייצגים את מדינתם בכבוד כפי שאולי שר החינוך היה רוצה, אך המחקר הנוכחי הוא שונה. ממצאי המחקר אינם מציגים את הישגי התלמידים עצמם (אלה הוצגו כבר לפני שנתיים), אלא את מידת ההשפעה שיש לאופן ההוראה של המורים למתמטיקה על התוצאות וההישגים של התלמידים וגם – וזה החלק המעניין – על דרכי התמודדות של התלמידים עם השאלות שהוצגו להם במבחנים.
אני  רוצה להציג לכם כמה מהממצאים היותר מעניינים בעיניי. מאחר והמחקר מעמיק וניתן ללמוד ממנו רבות בתחומים שונים, אחלק את ההצגה של הממצאים לכמה פוסטים – כל פוסט יוקדם להיבט חשוב אחר.
אני מתכוון להתרכז בממצאים כלליים המדגישים את הקשר שבין שיטות הוראה לאופני התמודדות של תלמידים, ופחות להישגים ולממצאים הנוגעים לתלמידים הישראלים.
חלק א – השפעתה של אסטרטגיית ההוראה על הישגי התלמידים והתמודדותם