איזה כיף! כולם לא שייכים!

אנחנו רגילים שבמתמטיקה יש רק תשובה אחת נכונה. בפוסט הנוכחי נראה כמה זה מעניין כאשר כל התשובות נכונות.

אני רוצה להציג אתר נהדר לעבודה בכיתה (או בבית). לאתר קוראים "מי לא שייך?" והוא עובד לפי עיקרון פשוט: באתר מוצגות תמונות. כל תמונה היא מטריצה של ארבע תמונות קטנות (ארבעה גרפים, ארבעה תרגילים, ארבע צורות). המטרה של התלמיד היא לזהות את התמונה יוצאת הדופן. נשמע משעמם נכון? גם מאוד תחרותי. למה בכלל להתאמץ? ובכן הטוויסט נמצא בעובדה שכל תמונה מבין הארבע היא יוצאת דופן!

הנה דוגמה למטריצה שהצגתי בכיתה לאחר שלמדנו חקירת פונקציה:

כל התשובות נכונות

איזה גרף יוצא דופן?

השאלה שהצגתי היתה: איזה גרף יוצא דופן? התנאי היחידי שהצבתי לכיתה היה שכל תשובה שתלמיד נותן צריכה להיות מנומקת, וכל נימוק צריך לעשות שימוש במושגים המתמטיים שלמדנו.

היה תענוג לראות את שיתוף הפעולה: תלמידים שונים ראו גרפים שונים כיוצאי דופן, או הציגו נימוקים שונים לאותו הגרף.

את הבחירות והנימוקים כתבתי על הלוח: מספרתי את הגרפים ולצד כל מספר של גרף ציינתי את שם התלמיד שהציע את התשובה ואת התשובה שהציע. עבור כל גרף השתדלנו למצוא כמה שיותר אפשרויות. הנה דוגמאות:

  1. הגרף השמאלי העליון יוצא דופן משום שיש לו רק שתי נקודות חיתוך עם ציר ה-X.
  2. הגרף ימני העליון הוא הגרף היחידי שיש לו נקודת מינימום ואז נקודת מקסימום.
  3. הגרף השמאלי התחתון הוא היחידי שעובר בראשית הצירים.
  4. הגרף הימני התחתון הוא היחידי החותך את ציר ה-Y באזור השלילי.

כשהתלמידים הבינו שיש אפשרויות רבות ומגוונות, וכל תשובה מנומקת היא תשובה נכונה, הם ממש התלהבו וביקשו למצוא עוד ועוד נימוקים והבדלים. זה באמת מדהים לראות שכאשר התלמידים מרגישים שיש להם אפשרות לענות תשובה נכונה וכאשר יש משמעות לדברים שהם אומרים – הם ממש רוצים להשתתף.

בעיני, במשימה הזו באות לידי ביטוי כמה מהתכונות החשובות ביותר של שיעור מתמטיקה:

  1. היא מאפשרת לכל התלמידים להשתתף – לכל נקודת מבט יש מקום ואין משמעות למהירות חשיבה.
  2. היא מעוררת סקרנות ומתוך כך – מעורבות.
  3. היא מעודדת שיח מתמטי ודורשת מהתלמידים להשתמש נכון במושגים שלמדו וליישם אותם.
  4. בכך היא מהווה חזרה מצוינת על החומר והזדמנות לעבד אותו שלא באמצעות פתרון תרגילים.
  5. ככל שיש יותר נקודות על הלוח המטלה דורשת מהתלמידים להתאמץ יותר להיות יצירתיים יותר במציאת הבדלים בין הגרפים.

התמונות באתר מתאימות לטווח רחב של גילאים ותחומי לימוד. זוהי פעילות כל כך פשוטה, ויחד עם זאת כל כך חכמה ויצירתית, שהיא מתאימה לכל גיל (כמובן תוך התאמת הציפיות והדרישות לגיל התלמידים). מאוד מומלץ כפתיח לשיעור ("חימום מתמטי") או כשצריך לאוורר את האווירה בכיתה.

האתר מזמין את כל המשתמשים בו להוסיף תמונות ורעיונות חדשים. זה אתגר לא פשוט!

שתפו אם ניסיתם וספרו איך הלך!

מתמטיקה מהחיים #2 – מה מזהם יותר: השלם או סכום חלקיו?

מתי 12≠6+6?

מוצ"ש. חוזרים מההורים. שבת רגועה של בית ועיתונים. הבן שלי, שכבר קורא בחופשיות, הצטרף לחגיגת העיתונים בסלון. זה יכול להדאיג, אבל למזלי הוא מתעניין בעיקר בפרסומות. בדרך חזרה הביתה, בנסיעה בכביש המהיר והחשוך, החלה השיחה:

"אבא?"

car pollution

אז מה מזהם יותר? מכונית אחת של 12 או שתי מכוניות של 6?

"מה?"

"כמה האוטו שלנו מזהם?"

"למה אתה מתכוון?"

"מ-1 עד 15, כמה האוטו שלנו מזהם?"

הבנתי שהוא מתכוון לסולם זיהום האוויר שמופיע במודעות הפרסומות למכוניות.

"12" השבתי.

"זה הרבה!" הוא ענה, קצת בביקורת, כאילו ציפה שהמשפחה שלו תתחשב יותר באיכות הסביבה.

"כמה זה נקרא מעט?"

"6".

תשובה מעניינת! (מדוע דווקא 6? אולי זכר את הצבעים בטבלה?) אז לא יכולת להתאפק והחזרתי לו בשאלה הבאה:

"אז תגיד, מה עדיף: מכונית אחת שמזהמת 12 או שתי מכוניות שמזהמות 6?"

להמשיך לקרוא

"מילים מילים ואת משמעותן (המתמטית)"

השבוע נתקלתי במאמרו של שלומי חתוכה על הסיבות לכך שתלמידים רבים מעדיפים ללמוד מתמטיקה ברמות נמוכות ביחס לרמות המתאימות להם (ותודה להפניה בעמוד הפייסבוק של עידן טל). על פי שלומי הסיבה היא המאפיינים של הוראת המתמטיקה: תלמידים רבים בוחרים ללמוד ברמה מתמטית הנמוכה ביחס ליכולות שלהם ובחירה זו היא כהצבעת אי אמון במערכת החינוך.

וכך כותב שלומי: "אם המורה בבית הספר אינו מספיק טוב, אין לתלמיד סיכוי רב להצליח. וטוב פירושו שהמורה אינו רק צריך לדעת את החומר על בוריו, אלא צריך גם לדעת לפשט ולהעביר אותו בצורה ההגיונית וגם היצירתית ביותר….העבודה העיקרית היא לאו דווקא להתחיל בלימוד מתמטיקה, אלא להחדיר בתלמיד אמונה וביטחון, בעיקר לפזר את החשש והפחד, ולהבין כי הדרך לשכל עוברת אצל ילדים דרך הלב בטח במקצוע ידוע לשמצה עד כדי כך שהפך להיות אימת המקצועות".

המילים האמיצות הללו, שאני מסכים עימם בכל ליבי, התאימו למחשבות שיש לי בעקבות ספר שאני קורא לאחרונה. הספר, Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers שנכתב על ידי Joseph Mazur, מתאר את ההתפתחות של הסמלים במתמטיקה, ואת הכתיבה הסימבולית, מאז ראשית ימיה. בניגוד לספרי היסטוריה אחרים של התפתחות המתמטיקה (כמו זה של בנו ארבל ז"ל),  ספר זה מתמקד אך ורק בסימולים המתמטיים – כיצד התפתחו, מדוע התפתחו וכיצד השפיעו על המתמטיקה כתחום ידע.

הספר מומלץ מאוד למי שמתעניין בנושאים אלה. הוא קריא ומעניין. הוא מתאר באופן מרתק כיצד כניסתם של הסימולים המתמטים אותם אנו מכירים היטב שינו את האופן בו עשו וחשבו מתמטיקה עד להופעתם.

המתמטיקה  היא בכלל מדע מילולי

להמשיך לקרוא

מתמטיקה מהחיים 1# – באיזו קומה גר החבר?

אי אפשר להפריז בחשיבות של שאלות מתמטיקה הלקוחות מהחיים האמיתיים. מתמטיקה היא קודם כל דרך בה מתבוננים על העולם, מזהים תבניות או סדירויות. ככזו, מתמטיקה היא גם אמצעי לפתרון בעיות ואחת המטרות שלנו, כמורים, היא להצביע על הכלי הזה ככלי יעיל. בנוסף, שאלות מהחיים תהיינה בדרך כלל מעניינות יותר ומאתגרות יותר ולכן מזמינות יותר לפתרון. מכאן שיש חשיבות עליונה לשאול שאלות הלקוחות מ"העולם האמיתי". הבעיה הא שברבים מאוד מהמקרים העולם האמיתי הופך להיות החצר של משה, שהיא "חצר מלבנית באורך 5 מטרים וברוחב 2 מטרים". נו באמת, ככה נראות חצרות? ואם באמת זה ככה, למה שיהיה לי אכפת מהחצר של משה?

העולם האמיתי שאנחנו צריכים לתאר בבעיות שאנו מציבים לתלמידים צריך להיות קשור לעולמם האמיתי של הילדים ולכן נגיש ויותר מעניין.

כאשר הבן שלי היה בכיתה א' ליוויתי אותו אחר הצהרים אחד בדרך לבית של חבר.

"אתה יודע את הכתובת?" הוא שאל אותי.

"כן," עניתי, "בניין מספר 5, דירה 17".

-"איזו קומה?"

להמשיך לקרוא