איזה כיף! כולם לא שייכים!

אנחנו רגילים שבמתמטיקה יש רק תשובה אחת נכונה. בפוסט הנוכחי נראה כמה זה מעניין כאשר כל התשובות נכונות.

אני רוצה להציג אתר נהדר לעבודה בכיתה (או בבית). לאתר קוראים "מי לא שייך?" והוא עובד לפי עיקרון פשוט: באתר מוצגות תמונות. כל תמונה היא מטריצה של ארבע תמונות קטנות (ארבעה גרפים, ארבעה תרגילים, ארבע צורות). המטרה של התלמיד היא לזהות את התמונה יוצאת הדופן. נשמע משעמם נכון? גם מאוד תחרותי. למה בכלל להתאמץ? ובכן הטוויסט נמצא בעובדה שכל תמונה מבין הארבע היא יוצאת דופן!

הנה דוגמה למטריצה שהצגתי בכיתה לאחר שלמדנו חקירת פונקציה:

כל התשובות נכונות

איזה גרף יוצא דופן?

השאלה שהצגתי היתה: איזה גרף יוצא דופן? התנאי היחידי שהצבתי לכיתה היה שכל תשובה שתלמיד נותן צריכה להיות מנומקת, וכל נימוק צריך לעשות שימוש במושגים המתמטיים שלמדנו.

היה תענוג לראות את שיתוף הפעולה: תלמידים שונים ראו גרפים שונים כיוצאי דופן, או הציגו נימוקים שונים לאותו הגרף.

את הבחירות והנימוקים כתבתי על הלוח: מספרתי את הגרפים ולצד כל מספר של גרף ציינתי את שם התלמיד שהציע את התשובה ואת התשובה שהציע. עבור כל גרף השתדלנו למצוא כמה שיותר אפשרויות. הנה דוגמאות:

  1. הגרף השמאלי העליון יוצא דופן משום שיש לו רק שתי נקודות חיתוך עם ציר ה-X.
  2. הגרף ימני העליון הוא הגרף היחידי שיש לו נקודת מינימום ואז נקודת מקסימום.
  3. הגרף השמאלי התחתון הוא היחידי שעובר בראשית הצירים.
  4. הגרף הימני התחתון הוא היחידי החותך את ציר ה-Y באזור השלילי.

כשהתלמידים הבינו שיש אפשרויות רבות ומגוונות, וכל תשובה מנומקת היא תשובה נכונה, הם ממש התלהבו וביקשו למצוא עוד ועוד נימוקים והבדלים. זה באמת מדהים לראות שכאשר התלמידים מרגישים שיש להם אפשרות לענות תשובה נכונה וכאשר יש משמעות לדברים שהם אומרים – הם ממש רוצים להשתתף.

בעיני, במשימה הזו באות לידי ביטוי כמה מהתכונות החשובות ביותר של שיעור מתמטיקה:

  1. היא מאפשרת לכל התלמידים להשתתף – לכל נקודת מבט יש מקום ואין משמעות למהירות חשיבה.
  2. היא מעוררת סקרנות ומתוך כך – מעורבות.
  3. היא מעודדת שיח מתמטי ודורשת מהתלמידים להשתמש נכון במושגים שלמדו וליישם אותם.
  4. בכך היא מהווה חזרה מצוינת על החומר והזדמנות לעבד אותו שלא באמצעות פתרון תרגילים.
  5. ככל שיש יותר נקודות על הלוח המטלה דורשת מהתלמידים להתאמץ יותר להיות יצירתיים יותר במציאת הבדלים בין הגרפים.

התמונות באתר מתאימות לטווח רחב של גילאים ותחומי לימוד. זוהי פעילות כל כך פשוטה, ויחד עם זאת כל כך חכמה ויצירתית, שהיא מתאימה לכל גיל (כמובן תוך התאמת הציפיות והדרישות לגיל התלמידים). מאוד מומלץ כפתיח לשיעור ("חימום מתמטי") או כשצריך לאוורר את האווירה בכיתה.

האתר מזמין את כל המשתמשים בו להוסיף תמונות ורעיונות חדשים. זה אתגר לא פשוט!

שתפו אם ניסיתם וספרו איך הלך!

"מילים מילים ואת משמעותן (המתמטית)"

השבוע נתקלתי במאמרו של שלומי חתוכה על הסיבות לכך שתלמידים רבים מעדיפים ללמוד מתמטיקה ברמות נמוכות ביחס לרמות המתאימות להם (ותודה להפניה בעמוד הפייסבוק של עידן טל). על פי שלומי הסיבה היא המאפיינים של הוראת המתמטיקה: תלמידים רבים בוחרים ללמוד ברמה מתמטית הנמוכה ביחס ליכולות שלהם ובחירה זו היא כהצבעת אי אמון במערכת החינוך.

וכך כותב שלומי: "אם המורה בבית הספר אינו מספיק טוב, אין לתלמיד סיכוי רב להצליח. וטוב פירושו שהמורה אינו רק צריך לדעת את החומר על בוריו, אלא צריך גם לדעת לפשט ולהעביר אותו בצורה ההגיונית וגם היצירתית ביותר….העבודה העיקרית היא לאו דווקא להתחיל בלימוד מתמטיקה, אלא להחדיר בתלמיד אמונה וביטחון, בעיקר לפזר את החשש והפחד, ולהבין כי הדרך לשכל עוברת אצל ילדים דרך הלב בטח במקצוע ידוע לשמצה עד כדי כך שהפך להיות אימת המקצועות".

המילים האמיצות הללו, שאני מסכים עימם בכל ליבי, התאימו למחשבות שיש לי בעקבות ספר שאני קורא לאחרונה. הספר, Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers שנכתב על ידי Joseph Mazur, מתאר את ההתפתחות של הסמלים במתמטיקה, ואת הכתיבה הסימבולית, מאז ראשית ימיה. בניגוד לספרי היסטוריה אחרים של התפתחות המתמטיקה (כמו זה של בנו ארבל ז"ל),  ספר זה מתמקד אך ורק בסימולים המתמטיים – כיצד התפתחו, מדוע התפתחו וכיצד השפיעו על המתמטיקה כתחום ידע.

הספר מומלץ מאוד למי שמתעניין בנושאים אלה. הוא קריא ומעניין. הוא מתאר באופן מרתק כיצד כניסתם של הסימולים המתמטים אותם אנו מכירים היטב שינו את האופן בו עשו וחשבו מתמטיקה עד להופעתם.

המתמטיקה  היא בכלל מדע מילולי

להמשיך לקרוא

גרפים, אומנות ופרצוף מחייך – כל מה שכיף בללמוד מתמטיקה

הפוסט הנוכחי מוקדש ל-Desmos, האפליקציה לשרטוט גרפים,  שלפני כשבועיים יצאה לה גרסה חדשה. מי שלא מכיר עדיין את נפלאות דסמוס שיסגור את הפוסט הנוכחי ויעבור מהר לחקור ולשחק קצת באתר שלהם.

חזרתם? נכון שהיה כיף? אז הנה עוד קצת כיף:

בפוסט הקודם שיתפתי אתכם בשיעור שנועד לחדד את הקשר בין ייצוגים שונים של אותה הפונקציה. הרעיון, בעיני, הוא תמיד לעודד את התלמידים להסתכל באופנים שונים על אותה התופעה. הפוסט הנוכחי יוקדש למטלה שאני מעביר בדרך כלל כאשר אנחנו מסיימים ללמוד על משוואת קו ישר ומשוואה ריבועית. כבר פתרנו תרגילים, מצאנו נקודות, חישבנו משוואות ישרים וכמובן – דיברנו על ההשפעה של הפרמטרים השונים על ההתנהגות של הפונקציה והאופן בו נראה הגרף שלה.

המטלה הנוכחית, בעיני, היא התגלמות האופן בו יש ללמד מתמטיקה והיא משלבת הבנה מתמטית עמוקה יחד עם יצירתיות וכיף – בדיוק מה שצריך כדי ללמד תלמידים לחשוב באופן יצירתי ומורכב. אין לי שום נקיפות מצפון כאשר אני מהלל אותה כך משום שזו אינה מטלה מקורית שלי. למדתי עליה לפני מספר שנים מהבלוג של פון (Fawn) ומאז היא חלק בלתי נפרד מתכנית ההוראה שלי.

להמשיך לקרוא

פונקציות, נקודות, גרפים – על חשיבות הקשר בין ייצוגים שונים

אחד הקשיים בהם נתקלים תלמידים הוא לזהות את הקשרים בין הנושאים והתחומים השונים של המתמטיקה שנלמדים בבית הספר. הקושי הזה נובע, בין השאר, משום שמלמדים את כל התלמידים באופן דומה, מבלי להתייחס למאפיינים האישיים של כל תלמיד. כתבתי על כך בסקירה של ממצאי המחקר של פיז"ה באחד הפוסטים הקודמים.

מבין כל הקשרים הקיימים, אחד הקשרים הבולטים – מצד אחד – והמוזנחים – מצד שני – הוא הקשר בין פונקציות וייצוגיהן הגרפים.

לימוד מתמטיקה בהקשרים שונים, ובאמצעים מגוונים, הוא חשוב. הוא חשוב כי הוא מאפשר לתלמידים להבין את החומר באופן שבו הם מבינים אותו טוב ביותר. הוא חשוב כי הוא מייצר אצל התלמידים ביטחון עצמי. הוא חשוב כי הוא מבנה את הבסיס ללמידה עמוקה ומשמעותית בהמשך. אלו הם העקרונות של תפיסת ה- Growth Mindset (למישהו יש תרגום מוצלח לעברית?) שצוברת תאוצה בארה"ב (לא רק במתמטיקה אלא כתפיסה של מקצוע ההוראה).

לכן, חשוב ללמד גרפים ואת הקשר שלהם לפונקציות, נקודות על מערכת צירים ואת הקשר שלהם לגרפים, וכדומה.

דן מאייר מתייחס לנקודה זו באחד הפוסטים האחרונים שלו. הוא מציג מטלה מעניינת המדגישה את הקשר בין קו ישר, נקודות וייצוג אלגברי.

הפוסט הזה הזכיר לי שאני עושה משהו דומה (אך שונה) עם הכיתה שלי אז החלטתי לשתף אתכם בו (תודה דן!).

הרעיון של המשימה הבאה הוא להציג את הקשר בין פונקציה, אוסף נקודות, והתיאור הגרפי של הפונקציה. אפשר לשלב אותו בכל שלב של למידה אם כי לדעתי לא כדאי להביא אותו בשלב מוקדם מדי אלא רק לאחר שהתלמידים התנסו כבר בייצוגים השונים. הוא מתאים גם לתלמידים שמכירים רק משוואות מהמעלה הראשונה אך בהחלט גם לתלמידים המכירים משוואות ממעלות גבוהות יותר.

להמשיך לקרוא

מחקר – איך להיות מורה טוב יותר למתמטיקה, חלק ב'

בפוסט קודם כתבתי על ממצאי המחקר שערכה פיז"ה שפורסמו בחודש האחרון. התמקדתי במיוחד במאפיינים של למידה משמעותית ואיכותית ובאסטרטגיות המסייעות למורה למתמטיקה לממש אותה. בפוסט הנוכחי אני רוצה לדבר על ממצאים אחרים שעלו במחקר הנוגעים יותר לתחושת הביטחון של התלמידים, לאווירה בכיתה ולאקלים הלימודי. חשוב מאוד לדבר על תחומים אלה משום שהם מהווים את הקרקע עליה יכולה הוראה איכותית לצמוח ולהצמיח הצלחה.
 
חלק ב' – התרומה של יחסי מורה-תלמיד, אקלים כיתתי ורמות חרדה להצלחה במתמטיקה
 
הממצא הראשון, שאני בטוח שלא יפתיע אף מורה, קושר בין רמת השחיקה של המורים ומספר אירועי המשמעת בשיעור: מורים המלמדים בכיתות עם רמת הפרעות רבה יותר מדווחים על שחיקה רבה יותר.  ממצא זו אינו מפתיע ולמרות זאת חשוב לדבר עליו בעיקר משום שהוא מדגיש את תרומתו של האקלים הכיתתי לחוויית ההוראה, לחוויית הלמידה ומתוך כך לשיעורי ההצלחה.

להמשיך לקרוא

מחקר – איך להיות מורה טוב יותר למתמטיקה, חלק א'

 

בתחילת החודש פרסמה פיז"ה, הרשות הבינלאומית להערכת תלמידים, את ממצאי המחקר שערכה בשנת 2012. אני מכיר את הביקורת על המבחנים של פיז"ה, ועל כך שהתלמידים הישראלים אינם מייצגים את מדינתם בכבוד כפי שאולי שר החינוך היה רוצה, אך המחקר הנוכחי הוא שונה. ממצאי המחקר אינם מציגים את הישגי התלמידים עצמם (אלה הוצגו כבר לפני שנתיים), אלא את מידת ההשפעה שיש לאופן ההוראה של המורים למתמטיקה על התוצאות וההישגים של התלמידים וגם – וזה החלק המעניין – על דרכי התמודדות של התלמידים עם השאלות שהוצגו להם במבחנים.
אני  רוצה להציג לכם כמה מהממצאים היותר מעניינים בעיניי. מאחר והמחקר מעמיק וניתן ללמוד ממנו רבות בתחומים שונים, אחלק את ההצגה של הממצאים לכמה פוסטים – כל פוסט יוקדם להיבט חשוב אחר.
אני מתכוון להתרכז בממצאים כלליים המדגישים את הקשר שבין שיטות הוראה לאופני התמודדות של תלמידים, ופחות להישגים ולממצאים הנוגעים לתלמידים הישראלים.
חלק א – השפעתה של אסטרטגיית ההוראה על הישגי התלמידים והתמודדותם