פונקציות, נקודות, גרפים – על חשיבות הקשר בין ייצוגים שונים

אחד הקשיים בהם נתקלים תלמידים הוא לזהות את הקשרים בין הנושאים והתחומים השונים של המתמטיקה שנלמדים בבית הספר. הקושי הזה נובע, בין השאר, משום שמלמדים את כל התלמידים באופן דומה, מבלי להתייחס למאפיינים האישיים של כל תלמיד. כתבתי על כך בסקירה של ממצאי המחקר של פיז"ה באחד הפוסטים הקודמים.

מבין כל הקשרים הקיימים, אחד הקשרים הבולטים – מצד אחד – והמוזנחים – מצד שני – הוא הקשר בין פונקציות וייצוגיהן הגרפים.

לימוד מתמטיקה בהקשרים שונים, ובאמצעים מגוונים, הוא חשוב. הוא חשוב כי הוא מאפשר לתלמידים להבין את החומר באופן שבו הם מבינים אותו טוב ביותר. הוא חשוב כי הוא מייצר אצל התלמידים ביטחון עצמי. הוא חשוב כי הוא מבנה את הבסיס ללמידה עמוקה ומשמעותית בהמשך. אלו הם העקרונות של תפיסת ה- Growth Mindset (למישהו יש תרגום מוצלח לעברית?) שצוברת תאוצה בארה"ב (לא רק במתמטיקה אלא כתפיסה של מקצוע ההוראה).

לכן, חשוב ללמד גרפים ואת הקשר שלהם לפונקציות, נקודות על מערכת צירים ואת הקשר שלהם לגרפים, וכדומה.

דן מאייר מתייחס לנקודה זו באחד הפוסטים האחרונים שלו. הוא מציג מטלה מעניינת המדגישה את הקשר בין קו ישר, נקודות וייצוג אלגברי.

הפוסט הזה הזכיר לי שאני עושה משהו דומה (אך שונה) עם הכיתה שלי אז החלטתי לשתף אתכם בו (תודה דן!).

הרעיון של המשימה הבאה הוא להציג את הקשר בין פונקציה, אוסף נקודות, והתיאור הגרפי של הפונקציה. אפשר לשלב אותו בכל שלב של למידה אם כי לדעתי לא כדאי להביא אותו בשלב מוקדם מדי אלא רק לאחר שהתלמידים התנסו כבר בייצוגים השונים. הוא מתאים גם לתלמידים שמכירים רק משוואות מהמעלה הראשונה אך בהחלט גם לתלמידים המכירים משוואות ממעלות גבוהות יותר.

מטלת הדרך והמפה

הרעיון הוא פשוט:

אני פותח בציור של מפת רחובות על הלוח – מערכת של רחובות אופקים ואנכיים היוצרים כמה צמתים. (בעבר הייתי משתמש במפה של מנהטן אבל זה לא היה מספיק אפקטיבי. כיום אני חושב על שיפור שאולי דווקא יכול לשלב את המפה של מנהטן – נדבר עליו אחר כך).

לאחר שהמפה מצוירת על הלוח אני מבקש מהתלמידים שמות לרחובות (תלוי באופיה של הכיתה אני שוקל האם להגביל אותם לשמות של אבות האומה, פרחים, או מאכלים, או לתת יד חופשית ואז זה יכול להיות מאוד מצחיק).

לאחר שיש רחובות וצמתים אני מבקש שני מתנדבים/ות ומצייר את ה"בתים" שלהם על הלוח. ואז מבקש מהכיתה רעיונות למוסדות או אתרים שניתן להוסיף למפה: בית ספר, בנק, מרפאה, בית קולנוע וכדומה. גם כאן –  אם הכיתה משתפת פעולה ונעימה ההשתתפות יכולה להביא למעורבות גבוהה ולהרבה צחוקים.

בשלב הזה הלוח נראה בערך כך:

אופנים שונים לתיאור פונקציות

פונקציות נקודות וגרפים – אופנים שונים לתיאור אותה התמונה

כעת אני מבקש מתלמיד או תלמידה שיראו לי איך להגיע מהבית של תלמיד אחד לבית של התלמידה השניה. בדרך כלל התלמיד הנבחר יבוא ללוח ויצייר מסלול נסיעה אפשרי בין הבתים. תלמידה אחרת תבחר מסלול שונה והשלישי (אם הוא מתחכם) יבחר לטוס מעל הבתים ולא לאורך הרחוב. אני לא מגביל את התלמידים ונותן להם לבחור את הדרך שהם רוצים.

המטלה הבאה תהיה לתאר את המסלול במילים. אם אף אחד לא בוחר להסביר לי בצורה מילולית כיצד להגיע אני מבקש מתנדב/ת שיתאר לי את אחת הדרכים המוצעות במילים. בדרך כלל ההסבר יהיה: "אתה נוסע ברחוב הרצל, פונה ימינה בצומת לרחוב הפרחים וממשיך ישר עד פינה ארלוזורוב".

"האם אפשר לתאר את הדרך אחרת?" אני שואל. "באמצעות נתונים אחרים שיש במפה?"

אני מנסה לכוון אותם להשתמש באתרים שמסומנים במפה ובשלב מסוים מקבל את התשובה:

"אתה נוסע עד שאתה מגיע למרפאה, פונה ימינה, חולף על פני הבנק וחונה ליד בית ספר."

עכשיו יש לנו מפה על הלוח שמסומן בה מסלול נסיעה ולצידה שני תיאורים של אותו מסלול – האחד עם שמות הרחובות והשני עם שמות האתרים. אם יש היענות ויצירתיות, גם תיאור של נסיעה עם כיוונים – מזרחה, צפונה וכדומה – מתקבל בשמחה.

שלב הסקת המסקנות

"האם יש הבדל בין שלושת התיאורים הכתובים על הלוח?"

כן, כמובן: האחד הוא תיאור גרפי, ציור, שלא צריך להכיר את המפה כדי להשתמש בו. השני משתמש ברחובות  – כיווני נסיעה – והוא נוח למי שמכיר את הכיוונים . השלישי, לעומת זאת, הוא אוסף של נקודות ציון: מספיק לשאול עוברי אורח – איך אני מגיע לבנק? – כדי לדעת איך להתקדם.

לא, אין הבדל: כולם מתארים את אותו המסלול מאותה נקודה אל אותה נקודה ובדיוק באותה הדרך.

וכך הגענו לאן שרצינו: שלושת התיאורים מתארים את אותה הדרך אלא שכל אחד עושה זאת באמצעים שונים. זהו גם הקשר בין פונקציה, אוסף נקודות (טבלה) וקו ישר:

הראשונה מתארת לי להיכן לנסוע: השיפוע (במשוואת קו ישר) מתאר לי את הכיוון; המקדם של x² מתאר לי האם הפרבולה ישרה או הפוכה, רחבה או צרה וכדומה. המספר החופשי מתאר לי את נקודת החיתוך עם ציר ה-y.

התיאור השני – אוסף הנקודות, או הטבלה – מתאר לי את המסלול באמצעות נקודות עניין בדרך. כמובן שניתן לנסוע מהמרפאה אל הבנק ואז לבית הספר בדרכים מגוונות, אלא שככל שיש לי יותר נקודות אפשרויות הבחירה לי מצטמצמות. כך גם הקשר בין אוסף נקודות ופונקציה.

התיאור הגרפי של קו ישר על מערכת צירים מקביל, כמובן, לשרטוט המסלול על המפה: אני יכל לראות את הכיוון שלו ואת נקודות העניין (חיתוך עם הצירים) שהוא עובר בדרך.

השיעור הזה בדרך כלל מעורר עניין אצל תלמידים רבים אשר פתאום מבינים מה הקשר בין ייצוג אחד לאחר. במהלך השנה אני תמיד חוזר לנושא הזה ומדגיש את החשיבות שבמעבר בין הייצוגים השונים – אם מקבלים ייצוג גרפי אני מעודד את התלמידים לנסות ולשער, גם אם לא במדויק, מהו הייצוג האלגברי של פונקציה, ולהפך.

את השיעור הזה אפשר לערוך גם בקבוצות קטנות כשלכל קבוצה ניתנת המשימה לייצר את שלושת המסלולים ואולי גם להמציא סיפור מעניין כדי שיהיה יותר כיף ויצירתי.

אבל מה עם מנהטן?

הבטחתי לכם מנהטן. אז ככה. אחת התגובות לפוסט של דן מאייר היתה של מורה בשם סו שהצביעה על קשר דומה במפות של גוגל: המפה עצמה, תיאור הדרך ו-street view. זה רעיון מדליק! היתרון של המפה של מנהטן הוא כמובן  במבנה מערכת הרחובות: בחלקו הוא ממש שתי וערב של רחובות ושמות הרחובות או השדרות ממש תואמים מערכת צירים: שדרה ראשונה פינת הרחוב החמישי. אפשר לנסות לשלב את המפה של מנהטן, כולל "ירידה" אל הרחוב, במטלה הזו.

מי מוכן להרים את הכפפה?