מתמטיקה מהחיים #2 – מה מזהם יותר: השלם או סכום חלקיו?

מתי 12≠6+6?

מוצ"ש. חוזרים מההורים. שבת רגועה של בית ועיתונים. הבן שלי, שכבר קורא בחופשיות, הצטרף לחגיגת העיתונים בסלון. זה יכול להדאיג, אבל למזלי הוא מתעניין בעיקר בפרסומות. בדרך חזרה הביתה, בנסיעה בכביש המהיר והחשוך, החלה השיחה:

"אבא?"

car pollution

אז מה מזהם יותר? מכונית אחת של 12 או שתי מכוניות של 6?

"מה?"

"כמה האוטו שלנו מזהם?"

"למה אתה מתכוון?"

"מ-1 עד 15, כמה האוטו שלנו מזהם?"

הבנתי שהוא מתכוון לסולם זיהום האוויר שמופיע במודעות הפרסומות למכוניות.

"12" השבתי.

"זה הרבה!" הוא ענה, קצת בביקורת, כאילו ציפה שהמשפחה שלו תתחשב יותר באיכות הסביבה.

"כמה זה נקרא מעט?"

"6".

תשובה מעניינת! (מדוע דווקא 6? אולי זכר את הצבעים בטבלה?) אז לא יכולת להתאפק והחזרתי לו בשאלה הבאה:

"אז תגיד, מה עדיף: מכונית אחת שמזהמת 12 או שתי מכוניות שמזהמות 6?"

"שתי מכוניות של 6."

"למה?"

כאן הסתיימה השיחה. זו היתה דרישה גדולה מדי לגייס אותו בשעה כל כך מאוחרת לדיון מורכב על מה מסמלים או מודדים המספרים שאנו משתמשים בהם.

אבל לאחר מכן מצאתי את עצמי חושב על השיחה הזו, על מה שהיה בה ועל האפשרויות הגלומות בה:

בשאלה, כמובן, היתה סקרנות רבה והרבה תמימות.

בתשובה, לעומת זאת, היה טמון קושי: מה היתה המשמעות שלה? מה המשמעות של 12? הקושי הזה עלה לפני השטח כאשר הבן שלי התבקש להשוות בין שתי מכוניות המזהמות 6 לאחת המזהמת 12. הוא אמנם בחר באפשרות אחת אך עשה זאת באופן אינטואיטיבי, או אולי אפילו אקראי: הרי חסר לו מידע כדי שיוכל להשוות בין האפשרויות.

 

מספרים ומדדים ומה שביניהם

scales numbers 2

אנו רואים ומשתמשים במספרים כל הזמן. הרבה פעמים אנו משתמשים בהם כדי לתת משמעות לפעולות שלנו או כדי לעזור לנו בקבלת החלטות למרות שאין לנו מושג מה המספרים הללו מייצגים. הנטייה הטבעית היא להשתמש בפעולות החשבון הבסיסיות שאנו מכירים כדי למצוא את היחס בין 6+6 ו-12. אך פעמים רבות (כמו, אולי, במקרה הזה), 6+6 אינו בהכרח שווה ל-12. הדבר נכון גם במקרים אחרים: האם 20 מעלות זו תחושת חום כפולה מזו של 10 מעלות? האם סרט שקיבל ארבע כוכבים טוב כפליים מסרט קיבל שניים? והאם 30 סנטימטרים ארוכים פי שלושה משלושה קטעים שאורכם 10 ס"מ כל אחד? האם זוית של 120 מעלות כפולה בגודלה מזוית של 60 מעלות?

אני חושב שהמפגש הזה – בין אינטואיציות, מספרים, ידע על העולם והמשמעות של המדדים – הוא מאוד מעניין ומהווה קרקע פוריה מאוד ללמידה. הסקרנות הטבעית שהובילה לשאלה על מידת הזיהום של המכונית יכולה להוביל לכיוונים מעניינים רבים:

כיוון אחד יהיה קשור לידע שנדרש כדי לתת משמעות למספרים: כיצד עובדת מכונית? למה היא מזהמת? מהי פליטת גזים מסוכנת? באיזו מידה? וכמובן – מה הקשר בין המספרים בטבלה למידת הזיהום של המכונית.

כיוון אחר יתייחס לשאלה איזה סוג של מדד זה? מה אני מודד והאם קיים יחס כמותי קבוע בין המספרים או המדדים?

הטענה ש 12≠6+6 היא טענה "שערורייתית" המעוררת מחשבה. המדדים השונים שסביבנו מהווים דוגמאות למקרים שבהם זה יכול להיות המקרה. אז איך יודעים להבחין?

גם זו שאלה טובה!