"מילים מילים ואת משמעותן (המתמטית)"

השבוע נתקלתי במאמרו של שלומי חתוכה על הסיבות לכך שתלמידים רבים מעדיפים ללמוד מתמטיקה ברמות נמוכות ביחס לרמות המתאימות להם (ותודה להפניה בעמוד הפייסבוק של עידן טל). על פי שלומי הסיבה היא המאפיינים של הוראת המתמטיקה: תלמידים רבים בוחרים ללמוד ברמה מתמטית הנמוכה ביחס ליכולות שלהם ובחירה זו היא כהצבעת אי אמון במערכת החינוך.

וכך כותב שלומי: "אם המורה בבית הספר אינו מספיק טוב, אין לתלמיד סיכוי רב להצליח. וטוב פירושו שהמורה אינו רק צריך לדעת את החומר על בוריו, אלא צריך גם לדעת לפשט ולהעביר אותו בצורה ההגיונית וגם היצירתית ביותר….העבודה העיקרית היא לאו דווקא להתחיל בלימוד מתמטיקה, אלא להחדיר בתלמיד אמונה וביטחון, בעיקר לפזר את החשש והפחד, ולהבין כי הדרך לשכל עוברת אצל ילדים דרך הלב בטח במקצוע ידוע לשמצה עד כדי כך שהפך להיות אימת המקצועות".

המילים האמיצות הללו, שאני מסכים עימם בכל ליבי, התאימו למחשבות שיש לי בעקבות ספר שאני קורא לאחרונה. הספר, Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers שנכתב על ידי Joseph Mazur, מתאר את ההתפתחות של הסמלים במתמטיקה, ואת הכתיבה הסימבולית, מאז ראשית ימיה. בניגוד לספרי היסטוריה אחרים של התפתחות המתמטיקה (כמו זה של בנו ארבל ז"ל),  ספר זה מתמקד אך ורק בסימולים המתמטיים – כיצד התפתחו, מדוע התפתחו וכיצד השפיעו על המתמטיקה כתחום ידע.

הספר מומלץ מאוד למי שמתעניין בנושאים אלה. הוא קריא ומעניין. הוא מתאר באופן מרתק כיצד כניסתם של הסימולים המתמטים אותם אנו מכירים היטב שינו את האופן בו עשו וחשבו מתמטיקה עד להופעתם.

המתמטיקה  היא בכלל מדע מילולי

אחת העובדות שאותי ריתקה ועניינה היא העובדה שלאורך מרבית שנותיה, עד למאה ה-16 (ואולי אף מאוחר יותר), היתה המתמטיקה מדע מילולי בעיקרו. בספרי המתמטיקה הופיעו בעיקר מילים, ולא סימנים כמקובל היום (ב"אלגברה" של אל-חוואריזמי אפילו המספרים מופיעים כמילים ולא כספרות) . אמנם סימנים – בעיקר כסימני קיצור – החלו להופיע כבר אצל דיופאנטוס במאה השלישית וביתר שאת מהמאה ה-11, אך לא לפני פיבונאצי' וחבריו הפכו סימנים אלה למקובלים, וגם אז – עד למאה ה-16 הם לא תפסו מקום מרכזי בכתיבה, ובעקבות זאת בחשיבה, המתמטית.

הנה דוגמה לכתיבה מתמטית של לפני המאה ה-16:

"הריבוע של סכום של לא-ידוע ומספר שווה לסכום הריבועים של הלא-ידוע והמספר, בתוספת פעמיים המכפלה של הנעלם והמספר".

מתמטיקה מדע מילולי, רטורי! חישבו על כך! אותי המחשבה על כך מטלטלת, בעיקר כאשר אני חושב על התלמידים שפגשתי לאורך השנים, תלמידים בעלי חשיבה חדה ויצירתית שאין להם קושי מהותי להבין את הבעיה שהוצגה להם או לחשוב על הדרך לפתרון, אך שמתקשים להציג אותו באופן מתמטי.

הנה למה: תלמידים רבים מתקשים לחשב את השיפוע של גרף באמצעות הנוסחה כאשר שתי נקודות נתונות, אך יכולים להסביר שהמעבר ימינה שתי משבצות והמעבר למעלה ארבע משבצות מוביל לשיפוע השווה ל-2. המעבר מתיאור מילולי של התופעה לכתיבה מתמטית קשה להם. רבים אחרים יכולים לחשב אחוזים, או שברים, באופן אינטואיטיבי אך מתקשים להציג זאת באופן אלגברי.

הקושי עולה מכך שבמרבית המקרים התלמידים צריכים ללמוד סימולים חדשים יחד עם חומר חדש. זהו קושי כפול!

הוראת מתמטיקה כמדע מילולי

מתמטיקה, מילים, מה כבר ההבדל?

בעקבות הספר חשבתי לעצמי: מה היה קורה לו התלמידים הללו היו לומדים מתמטיקה לפני חמש מאות שנה? ייתכן והם היו תלמידים מצטיינים! עד המאה ה-16 כל אדם יכול היה להבין בעיה מתמטית (גם אם לא לפתור אותה) משום שהשפה היתה נגישה לכל. מהמאה ה-18 והלאה מרבית המתמטיקה היתה כבר מסומלת כך שבלי קשר לידע שהצטבר היה על התלמידים להתמודד, ראש וראשונה, עם סימולים חדשים.

כיצד הרעיון הזה מתקשר להוראת המתמטיקה ולמאמר של שלומי? הנה כך:

בפוסט קודם דנתי בקצרה בחשיבות שיש להצגה מגוונת של ייצוגים שונים של אותה התופעה כדי לחדד את ההבנה של הלומדים. תיארתי שיעור שאני עורך בכיתה שנועד לקשור בין ייצוגים שונים של אותה התופעה: ייצוג גרפי, ייצוג אלגברי וייצוג מילולי.

עלינו המורים חלה האחריות לזהות את התלמידים הללו, המתקשים להתבטא באופן מתמטי, ולסייע להם בכך. תלמידים רבים "הולכים לאיבוד" משום שהם אובדים במרחב השפה והסימונים המתמטיים, גם אם אין להם קושי אינטלקטואלי להבין. ככל שנציג לתלמידים את המתמטיקה באופנים מגוונים ככל שניתן, ונאפשר להם (לפחות בשלבים הראשוניים) להתבטא ולהסביר בשפה שנוחה להם, כך "נחדיר בתלמיד אמונה וביטחון, ובעיקר נפזר את החשש והפחד".

לתלמידים רבים קל יותר להבין, וגם להסביר, באמצעות מילים. החשיבה המילולית מפותחת אצלם יותר מחשיבה מספרית וכאשר יש הבנה אינטואיטיבית היא באה לידי ביטוי באופן מוצלח יותר באמצעות מילים. לרבים מהם זו תהיה הזדמנות נהדרת להביא את עצמם ולהביא את עצמם לשיעור. גם המורים אולי יוכלו ללמוד על שיטות חדשות לפתרון, שיטות שקשה יותר לתארן באמצעות השפה המתמטית (אולי בשל חוסר ידע) אך עדיין נכונות.

אינני מתכוון לומר שאין אנו צריכים ללמד את התלמידים את השפה המתמטית, כלל וכלל לא! להפך – אני סבור שהיכולת לעבור מצורה אחת של הבעה לצורה אחת היא חשובה מאוד ותורם מאוד הן להתפתחות החשיבה והן להבנה. הכתיב המתמטי הוא חשוב והכרחי, הוא מדויק, הוא מודרני והוא מכין את התלמידים לרמות גבוהות יותר של חשיבה. חוץ מזה ברמות הגבוהות אין אפשרות לפתור בעיות ללא הצרנה מתמטית נכונה. אין ספק שהוא חשוב והכרחי.

אבל אין זה אומר שלא צריך לאפשר לתלמיד להתנסות בחוויה אחרת. כדי לעודד תלמידים לקרוא, להבין ולחשוב באמצעות מתמטיקה, עלינו לאפשר להם במידה רבה ככל שניתן ללמוד את השפה בקצב שמתאים להם ולאפשר להם להביע את עצמם בשפה הנוחה להם. ישנם תלמידים רבים שבשל הקושי להבין את השפה המתמטית אינן מצליחים להביע את עצמם ואת הרעיונות שלהם. שימוש בשפה מילולית יכול לפתוח עבורם צוהר כזה.

אני לא יכול שלא לחשוב שתלמידים רבים שלימדתי – מוכשרים, נבונים ויצירתיים אך מתקשים בכתיבה מתמטית – היו יכולים אולי להיות מתמטיקאים גדולים לפני ארבע מאות שנים!